Le critère de Kelly : la formule mathématique de l'allocation optimale

Origine et principe

Le critère de Kelly a été formalisé par John L. Kelly Jr. dans un article célèbre publié au Bell System Technical Journal en 1956. Son objectif initial : optimiser la transmission d'information sur un canal bruité. Le résultat s'est révélé directement applicable au pari et à l'investissement.

Le principe fondamental : maximiser E[log(X)], l'espérance du logarithme du capital final. Cette fonction objective évite à la fois le sous-investissement (croissance trop lente) et le sur-investissement (risque de ruine).

La formule de base

Pour un pari binaire (gagner ou perdre), la fraction optimale à engager est :

f* = (bp − q) / b

Où :

• f* = fraction optimale du capital à engager
• b = cote (ratio gain/perte), ex : b=2 si vous pouvez gagner 2× ce que vous risquez
• p = probabilité de gagner
• q = probabilité de perdre, soit q = 1 − p

Exemple numérique

Supposons une stratégie avec :

• Win rate : p = 0,55 (55%)
• Ratio risque/rendement : b = 1,5 (vous gagnez 1,5× ce que vous risquez)

f* = (1,5 × 0,55 − 0,45) / 1,5 = (0,825 − 0,45) / 1,5 = 0,25

Le critère recommande d'engager 25% du capital par trade. En pratique, ce chiffre est jugé trop agressif : la volatilité de la courbe de capital est extrême.

Forme continue (pour le trading)

Pour un trade avec distribution continue de gains/pertes, la formule devient :

f* = μ / σ²

Où :

• μ = rendement moyen par trade
• σ² = variance du rendement

Cette version est appelée *Kelly continu*.

Le problème de la volatilité

Le critère de Kelly plein maximise la croissance asymptotique mais au prix de drawdowns considérables. Mathématiquement, le drawdown attendu est proportionnel à f*.

Fraction f plein Kelly (f*) : drawdowns de 40-50% fréquents.

Demi-Kelly (f = f*/2) : diminue le drawdown attendu d'environ 75% pour seulement 25% de perte de croissance. C'est le compromis privilégié par les professionnels.

Quart-Kelly (f = f*/4) : recommandé aux débutants et en marché incertain.

Application concrète au trading crypto

• Mesurez précisément votre edge : calculez votre win rate et votre R moyen sur au moins 100 trades documentés.
• Calculez f* avec la formule.
• Divisez par 2 ou 4 selon votre tolérance aux drawdowns.
• Ajustez dynamiquement : si votre edge se dégrade, réduisez f* immédiatement.

Pourquoi c'est crucial

Sans Kelly (ou équivalent), on tombe dans deux pièges :

• Sous-dimensionner : un excellent edge mal exploité produit des rendements médiocres.
• Sur-dimensionner : un edge positif mal exploité peut mener à la ruine (risque de ruine = 100% si f > 2f*).

Limites

Le Kelly suppose :

• Probabilités et cotes connues et stables
• Trades indépendants
• Capital infiniment divisible

En pratique, ces hypothèses sont fragiles. Kelly est un guide, pas une vérité absolue. Utilisez-le en conjonction avec une discipline stricte de gestion du risque (stop-loss, limites de drawdown quotidiennes).